| Simulation Parameter |
|---|
| Anfangsspieler wechseln |
| Anzahl der Spiel je Lauf |
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Bei dem "Mensch ärgere dich nicht" wird viel gewürfelt aber es ist kein reiner Zufallsspiel. Immer dann wenn mehrere Steine bewegt werden können trifft Taktik zur Tage. Besondere Stellung im Spiel hat auch die Zahl 6. Man muss 6 Werfen um aus dem Startfeld auf die Startposition zu landen, zusätzlich darf man nach einer 6 noch mal würfeln.
Die erste Hürde ist es eine 6 zu werfen. Hier die Wahrscheinlichkeiten, die besagen in wievielten Wurf man eine 6 werfen kann. Wir haben hier mit der Geometrische Verteilung zu tun.
| Wurf | Wahrscheinlichkeit für 6 | Summe |
|---|---|---|
| 1 | 0,166666667 | 0,16666667 |
| 2 | 0,138888889 | 0,30555556 |
| 3 | 0,115740741 | 0,4212963 |
| 4 | 0,096450617 | 0,51774691 |
| 5 | 0,080375514 | 0,59812243 |
| 6 | 0,066979595 | 0,66510202 |
| 7 | 0,055816329 | 0,72091835 |
| 8 | 0,046513608 | 0,76743196 |
| 9 | 0,03876134 | 0,8061933 |
| 10 | 0,032301117 | 0,83849442 |
| 11 | 0,026917597 | 0,86541201 |
| 12 | 0,022431331 | 0,88784335 |
| 13 | 0,018692776 | 0,90653612 |
| 14 | 0,015577313 | 0,92211343 |
Die Wahrscheinlichkeit, dass man in 2 Wurf 6 hat ist: 5/6 * 1/6 = 5/12 (0.13888889). Wahrscheinlichkeit für nicht 6 (5/6) mal Wahrscheinlichkeit für 6 (1/6). Bei 3. Wurf wäre es 5/6*5/6*1/6. Mit der Summe sieht man, dass man mit 4 Würfen 51% Wahrscheinlichkeit hat eine 6 zu Werfen. Der Erwartungswert ist 6 (geometrische Verteilung). Also man braucht im Schnitt 6 Würfe um reinzukommen. Ich habe zuerst auf 4 getippt aber die Formel (E=1/p) ist schon richtig. Der Wert stimmte auch mit der Simulation.
Danach muss ein Stein 40 Felder vorrücken um dann in Haus zu gehen. Durchschnittlich werden pro Wurf (1+2+3+4+5+6)/6 Felder vorgerückt. Also 3,5. Um 40 Felder vorzurücken braucht man also 40/3,5=11,4 Würfe. Anzahl der Würfe ist aber nicht die Anzahl der Züge, weil bei 6 man noch mal würfeln darf. Da Wahrscheinlichkeit für 6 1/6 ist, muss man die Anzahl der Würfe um 5/6 reduzieren um die Anzahl der Würfe zu bekommen.
Wie viele Züge braucht man durchschnittlich um mit einen Stein Haus zu erreichen. 6+11,4*5/6-1=14,5 Die 1 habe ich abgezogen, weil man nach dem Betreten des Brettes 6 geworfen hat also gleich ein Zusatz Wurf hat. Wenn man programmieren kann, kann man das durch Simulation prüfen. Dabei reicht ein kleiner Java Script Programm.
Leider kommt bei der Simulation etwa 15,1 heraus. Ich habe es einzeln mit Simulation geprüft.| Würfe um Herauszukommen | 6 |
| Würfe um 40 zu erreichen | 11.9 |
| Züge um 40 zu erreichen | 9.9 |
Der erste Denkfehler war bei Berechnung der Durchschnitts für Stein Geschwindigkeit pro Wurf (3,5). Das gilt nur für sehr Große Anzahl der Würfe bei kleinen Experimenten wird nach 40 immer abgeschnitten deswegen es wird immer mehr als 11,4 Würfe benötigt (in Simulation 11,9). Dieses Abschneiden ist halben Zug (1 Wurf) wert. Der Teil 11.9*5/6=9.9 stimmt so weit. Allerdings kommt ein Ergebnis um 0,5 zu hoch. Fehler war der Abzug von 1. Man muss nur 0,5 Abziehen, weil die Hälfte des Zugs schon für Herauskommen drauf gegangen ist. So meine Interpretation. Es ist schon interessant die Formel mit Simulation (Experimenten) zu verbinden. Ein Vorgehen, der so in klassischen Unterricht nicht vorkommt. Wer will schon als Hausaufgabe erst mal 10000 Partien spielen.
Der nächste Schritt wäre die Anzahl der Züge zu berechnen, die man braucht um mit 4 Steinen anzukommen. Das ist schon wirklich kompliziert, weil die Steine dann auch exakt passen müssen. Also jeder nächste Stein hat schwerer reinzukommen. Nach dem ersten Stein werden aber keine Würfe verschenkt um auf dem Brett zu landen. Die 6 wird dann verwendet um ein anderer Stein zu platzieren. Durch Simulation habe ich den Wert 54,2 Züge bekommen, also weniger als 15,1*4=60,4.
Ich stelle mir sehr schwierig vor, diesen Wert durch eine Formel genau zu berechnen. Eine Annäherung wäre anzunehmen, dass die nächsten Steine durch halben Zug reinkommen (6+x). Dann muss man berücksichtigen, dass die letzten Steine Problem mit der exakten Platzierung haben. Der 3. Stein muss sogar bestimmte genaue Zahl haben (also 6 versuche). Man kann also bei ersten Stein 1 bei 2. 3 und bei 3. 6 hinzufügen.
Also wäre es 15.1+(9.9+0.5)*3+1+3+6=56.3
Das kommt ungefähr hin.Allgemein kann man sagen, dass derjenige gewinnt, der weniger Züge braucht, um alle Stein im Haus zu platzieren. Bei mehreren Spieler, kommt das Schlagen dazu. Das Schlagen ist teuer. Es wirf einen Spieler ziemlich weit zurück. Schon ein Schlag kann die Anzahl der nötigen Zügen sogar um 15 erhöhen.
Je mehr Steine auf dem Brett sind desto wahrscheinlicher ist es geschlagen zu werden. Bei allen 16 Steinen auf dem Brett, ist die Dichte der fremden Steinen 12/(40-4) pro Feld. Also wenn man ein Feld, wechselt ist die Wahrscheinlichkeit, dass da ein Stein ist 12/36. Weil man 4 eigene Steine zu Auswahl hat ist die 4*12/36=1,3333 so groß, dass man fast immer schlagen müsste und so die Dichte automatisch kleiner wird.
Man kann die Wahrscheinlichkeit geschlagen zu werden so beeinflussen, dass man wenige Steine im Brett, es weniger fremde Steine gibt, oder die Verweildauer der Steine im Brett ist kürzer. Durch die Taktik lässt sich nur beeinflussen wie viele es fremde Steine gibt und wie lange die Steine auf dem Brett sind. Einmal muss man die fremde Steine schlagen, zweitens versucht man so schnell wie es geht durchzukommen.
Hier ein Paar Zahlen die ich bei Simulationen mit herausbekommen habe
| Spieler | Anzahl | Züge | Schläge | Steine | Entscheidungen |
|---|---|---|---|---|---|
| Random | 1 | 54,13 | 0 | 2,18 | 35,8 (66%) |
| Random | 2 | 64,37 | 2,7 (4,1%) | 3,99 | 39,8 (61%) |
| Random | 3 | 89,58 | 6,4 (7,1%) | 4,93 | 46 (51%) |
| Random | 4 | 118,21 | 10,7 (9,0%) | 5,76 | 52,83 (44%) |
| FirstBeat | 2 | 59,04 | 2,4 (4%) | 3,11 | 31,5 (53%) |
| FirstBeat | 4 | 103,42 | 8,8 (8,5%) | 4,72 | 39,034 (38%) |
| First | 4 | 85,4 | 6,2 (7,2%) | 4,85 | 34,4 (39%) |
| Beat | 4 | 140,3 | 14,4 (10,2%) | 5,2 | 55,1 (40%) |
| Last | 4 | 163,6 | 16,6 (10,1%) | 5,2 | 82,4 (51%) |
Durchschnittlich sind bei 4 Zufallsspieler 5,76 Steine im Brett. Die Partie dauert dann 118 Züge (pro Spieler). Jeder Spieler wird dann 10,7 mal geschlagen (9,0% per Runde) und bei 44% der Züge war eine Entscheidung (Wahl des Steins) möglich. Ich habe versucht die Dichte der Steine in Zusammenhang mit der Schlaghäufigkeit zu bringen aber ich habe immer einen größeren Wert bekommen.
Aus der Auswertung sind schon interessante Zusammenhänge des Spiels sichtbar. Die erfolgreichen Strategien verkürzen das Spiel und auch Anzahl der Schläge. Interessanterweise gibt es im Spiel so was wie ein Gleichgewicht. Eine Strategie (First) führt dazu, dass Anzahl der strategischen Entscheidungen kleiner wird. Nur bei 38% Prozent der Züge kann eine Entscheidung getroffen werden. Die erfolgreiche Taktik begünstigt Zufall, was wiederum Taktik ausschaltet.
Damit man ein Strategie richtig bewerten kann, müssen viele Spiele gespielt werden. Am besten kombiniert man die Strategie mit mehreren anderen Strategien. Man kann anfangen indem man die Strategie einen Spieler zuordnet und alle anderen als Zufallsspieler spielen. Da weißt man sofort, ob die Strategie überhaupt einen Vorteil gegenüber Zufallsspieler hat.
Für die Auswertung lasse ich vorest 1000 Spiele laufen. Sind alle Spieler gleich, ist die Erwartungswert für Gewinn 25%. Also müssten die Spieler etwa 250 mal gewinnen. Die Frage ist, um wie viel mehr muss der Spieler (Strategie) gewinnen um zu sagen, dass er besser oder schlechter er. Zu Hilfe kommt dann ein bißchen Wissen aus der Statistik Grundkurs. Es ist der Nullhypothesen-Stoff. Vorsicht ich bin kein Statistiker, also die Sachen nicht in eine Arbeit kopieren.
Zur Hilfe kommt der Binominaltest. Aus der Binominalverteilung kommt heraus, dass eine Strategie ist signifikant (überzufällig) besser auf der Niveau 1%, wenn der Spieler mehr als 282 gewinnt oder schlechter wenn er weniger als 218 mal gewinnt (250 +/- 32). Das bedeutet, es liegt nur 1% Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis nur aufgrund des Zufalls besser (schlechter) ist. Mit der Statistik Software R kann man es mit der Funktion herausfinden: pbinom(282,size=1000,prob=0.25). Das ergibt 0.9905425. Das bedeutet für Wahrscheinlichkeit 25% bei 1000 Versuchen, die Anzahl der Gewinne wird kleiner gleich 282 mit der Wahrscheinlichkeit 0.9905425.
Problematisch ist es, wenn man mehrere ungleiche Spieler hat. Dann kommt oft vor, dass 2 Spieler über 281 liegen, aber nur deswegen, weil ein Spieler besonders schlecht war. Dann muss man die Gewinne der Spieler untereinander vergleichen und dann mit dem Test prüfen, ob einer Signifikant besser (schlechter) war.
Ist Spieler 2 wirklich besser als 1? Fest steht 1 und 2 sind besser als 3 und 4. Betrachtet man 1 und 2 alleine. Dann sollten sie zu 50% gewinnen (Nullhypothese) bei 381+421 Spielen. Die Software R sagt: pbinom(381,size=381+431,prob=0.5)= 0.0197693. Es reicht nicht um sicher zu sagen, dass 1 besser ist, weil es sonst es zu 1,97% das besser Ergebnis nur Zufall sein könnte.
Wirklich problematisch ist es, wenn die Strategien sehr ähnlich sind. Dann ist der Unterschied am Erwartungswert so klein, dass man keinen signifikanten Unterschied feststellen kann. Hier kommt die Frage wie groß muss die Testmenge sein, um nachzuweisen dass 1% bessere Strategie signifikant besser ist. Naiv gedacht, wenn bei 1000 Spielen die Signifikanten Menge für Abweichung erst 282 ist. Damit könnte man eine Abweichung von 3,2% (282-250/1000) nicht nachweisen. Bei 10000 Spielen ist die Signifikante Menge 2601 (25424 bei 100000). Also Ungefähr 2% bessere Strategie wäre damit nachweisbar. Dafür gibt es bestimmt genaue statistische Formel. Man muss deutlich mehr Spiele durchspielen um kleine Unterschiede zwischen Spielstrategien nachweisbar zu machen.
Als erste Frage, stellt sich ob und welchen Vorteil, der Erstziehender der Partie hat. Da eine Partie ungefähr 100 Würfe benötigt, müsste man mit maximal 1% Vorteil (1% besseres Erwartungswert) rechnen. Oder anders ausgedrückt, wie viel ist ein zusätzlicher Wurf wert. Lässt sich das durch Simulation nachweisen? Dafür gibt es einen Schalter "Rotiere Spieler". Wenn es aus ist, dann fängt der erster Spieler immer an. Ich habe durch herumprobieren herausgefunden, dass es bei 4 Zufallsspieler man schon 50000 Spiele durchführen muss, um einen signifikanten Unterschied festzustellen. Dann müsste der Vorteil kleiner als 1% sein.
Die zweite interessante Frage ist ein Spiel mit 3 Spieler. Die Verteilung der Spieler ist dann nicht symmetrisch. Es drängt sich die Vermutung auf, dass die Gewinnchancen bei gleicher Spielweise unterschiedlich sind. Hier eine Auswertung von 50000 Spielen mit Zufallsspieler| Random | 16738 | |
| Random | 17059 | better 0.9999004140833057 |
| Random | 16203 | worse 0.000005317872636245724 |
| FirstBeat | 26890 |
| FirstBeat | 12237 |
| FirstBeat | 10873 |
Meine Vermutung war auch, dass sich die Strategien beeinflussen können, z.B kann eine Strategie nur erfolgreich relativ zu Strategie der anderen Spieler sein, aber nicht generell besser. Deswegen sollte man unterschiedliche Strategien in mehreren Auswertungen kombinieren. Ein intelligenter menschlicher Spieler könnte seine Strategie an die Mitspieler anpassen oder an eine ganz besondere Situation.
Ich konnte sehr schnell herausfinden, dass für das Spiel zwei Elemente sehr wichtig sind: mit dem Ersten zu gehen und schlagen. Dabei ist mit den ersten Gehen sogar viel wichtiger als Schlagen. (Das Kann man Vergleichen indem man Spieler "First" und "Beat" gegeneinander eintreten liest). Ich vermute, dass durch Fortbewegung (größere Geschwindigkeit der Bewegung) die Wahrscheinlichkeit geschlagen zu werden kleiner wird. Die Geschwindigkeit der der Bewegung wird aber kleiner, wenn man die Würfelzahl auf mehrere Steine verteilt. Es ist schon ein bisschen Verwunderlich warum die Bewegung nur mit einen Stein so viel Vorteil bringt, die Anzahl der eigenen Steine auf dem Brett ist gleich.
Durch Auswertungen ist auch sichtbar dass so ein Spieler (First) auch seltener Geschlagen wird, deswegen ist der Vorteil nicht nur deswegen weil der geschlagene hintere Stein weniger Wert ist. Dabei hängt Wert des Steines mit der Entfernung von Ziel. Ich kann mir diesen Effekt nicht so gut erklären. Deswegen habe ich wieder eine kleine Simulation gemacht. Ausgangslage sind 2 Steine mit der Entfernung 10 Positionen. Der erste hintere Stein versucht den 2. zu Schlagen. So weit ein Stein überholt wird, ist er sicher.
| Beschreibung Stein 1 Jäger | Beschreibung Stein Flüchtlinge | Wahrscheinlichkeit gefasst zu werden |
|---|---|---|
| Nur 1. Stein wird bewegt | Stein steht | 28,6% |
| Stein wird bewegt | 1 Stein wird bewegt | 7,1% |
| Stein wird bewegt | 1 Stein wird bewegt aber nur jedes 2. mal | 33,7% |
| Stein wird bewegt | 1 geschlagen: 48,72% 2 geschlagen: 4,64% | |
| Stein wird bewegt | 2 Steine werden bewegt (Position 10,11 immer der hintere wird bewegt) | 1 geschlagen: 50,4% 2 geschlagen: 7,17% |
| Stein wird bewegt | 2 Steine, nur der vordere wird bewegt | 1 geschlagen: 31,07% 2 geschlagen: 1,18% |
Aus der Tabelle kann man sehen, dass es immer besser ist nur mit einen Stein zu fliehen. Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Durchkommen ist (100-31,07-1,08=67,85%). Wenn man mit beiden flieht dann nur 42.24%.
Die hinteren Steine stehen zu lassen lohnt sich. Langsame Bewegung ist also noch gefährlicher als ganz zu stehen (28,6<33,7). Übertragung aller Würfe auf ein Stein die beste Strategie um ins Ziel zu kommen.
Immer mit den letzten Gehen (also in einer Gruppe zu gehen) ist deutlich schlechte als die Zufallsstrategie. Interessanterweise viele glauben, dass es einen Vorteil hat die Steine in einer Gruppe zu bewegen. zB. um eine Art Sperre oder Verteidigung zu bilden. Solche Tipps habe ich im Internet gefunden. Dummerweise ist das nur so lange richtig bis keine Gegner von hinten ankommen. Das lässt sich bei dem Spiel nicht vermeiden. Es ist interessant, dass viele intuitiv falsche Strategie nehmen. Eine Gruppenbewegung lohnt sich bei der Spiel eindeutig nicht.
Es war ziemlich schwierig eine bessere Strategie zu finden. Ich habe geglaubt, dass die Vermeidung von Startfelder der Gegner oder Vermeidung der Überspringen der Gegner besser wäre. Das könnte ich nicht nachweisen.
Ich habe auch kurz über s.g Kooperative-Strategien nachgedacht. Die kooperative Strategie macht nur bei mehr als 2 Spieler Sinn. Die Idee ist, dass man gerade bei Schlagen, die Entscheidung davon abhängig macht, wie die Lange des Geschlagenen ist. Es lohnt sich nur den Stärkeren zu schlagen um so die Gewinnchancen zu verbessern oder schlägt man auch den schwächeren um so mehr den Vorsprung auf zubauen. Gerade bei dem Schlag mit den nicht ersten Stein, könnte man davon Abstand nehmen, wenn der geschlagen nicht die beste Position im Spiel hat. Die aktuell Schwächen verbinden sich gegen den Stärkeren. Dabei gehen die Schwächeren in ein Bund ein, dass sie nur den Besseren schlagen.
Um es zu prüfen habe ich den FirstBeatByRating-Spieler entwickelt. Es schien, dass der Spieler besser als FirstBeat ist aber ich konnte keinen Signifikanten Unterschied herausbekommen. Vielleicht muss man die Taktik noch optimieren aber ich bezweifle, ob es am Ende entscheidend besser ist. z.B. man schlägt einen Schwachen nicht auch mit ersten Stein, wenn dieser eine hohe Chance hat einen Starken zu schlagen.
Genau so spannend ist die Frage nach der schlechtesten Strategie. Auch wenn man es nicht erst mal glaubt. Man kann das Ende des Spieles nicht vermeiden. Es terminiert praktisch immer.
Die schlechteste Strategie ist es nicht schlagen und immer mit den letzten Gehen, fremde Start-Felder besetzten. Auch wenn der schlechte Spieler mit den besten Spielt wird er noch 4% der Spiele gewinnen. Wenn nur schlechte Spieler spielen dann dauert die Partie ein bisschen lang aber auch nur 122 Züge pro Spieler.
Auch ein blindes Huhn trifft mal ein Korn und irgendwann ist mit allen Schluss. Das Spiel beeindruckt durch die Lebensweisheiten. Seien wir ehrlich. So was könnte Schach nie!
Ich kannte das Spiel ohne den Zwang mit 6 auf Startfeld zu gehen und dann auch sofort Startfeld räumen. Eigentlich bringt das eine interessante neue Entscheidung entweder man bring ein Stein ins Spiel oder man kann weit nach vorne gehen. Dabei läuft man Gefahr, dass irgendwann man wieder lange auf 6 warten muss und so ein paar Züge verschenkt. Um das zu testen habe ich Spieler (FristBeatStart und FirstBeatStartOpt) entwickelt. Diese kann man denn mit FirstBeat konkurrieren. Der FirstBeat zieht es vor immer bei 6 weiter zu gehen wenn es möglich ist. FristBeatStart ist das Gegenteil davon. Der Spieler wird sich bei 6 immer entscheiden einen Stein ins Brett zu bringen. Interessanterweise bei direkten Vergleich gewinnt mit kleinen Vorsprung der FirstBeatStart. Also verbietet die Regel etwas was so wie so nicht sinnvoll wäre. Wozu also die Regel? Um es genauer zu prüfen gibt es den Spieler FirstBeatStartOpt. Der bringt nur ein Stein ins Spiel, wenn die Distanz der Steine auf dem Brett zum Ziel größer als 35 ist. Bei 35 war es ungefähr die Zahl wo es besser war weiter zu gehen.
Am Ende ist also eine Mischstrategie notwendig. Man bringt nur dann ein Stein ins Spiel wenn die Situation dafür gut ist also wenn man noch viele sinnvolle Züge machen kann. Die Regel verarmt also das Spiel mehr als es nutzt. Zur Verteidigung der Regel muss man sagen, dass bei Abwesenheit der Regel die Dichte der Steine sinkt (von 4.7 auf 3.5) also auch die Anzahl der Schläge, was ein Entscheidende Ärgermacher (oder ein Spaßmacher) bei dem Spiel ist. Auch Anzahl der Züge sinkt auf 88 pro Spieler (ohne der Regel 102).
Die Möglichkeit nach hinter zu Schlagen ist interessant, weil es eine Entscheidung der Gegeneffekte ist. Man tauscht Schlagen gegen 2 Züge. Ein Spieler brauch 52 Züge pro Spiel, 2 Spieler brauchen 59 Züge (Strategie FirstBeat). Dabei kommt es zu 2,4 Schlägen. Ein Schlag ist also dann 59-52/2,4=2.9 Züge wert. Im Durchschnitt müsste es sich also lohnen. Zusätzlich verringert man so die Wahrscheinlichkeit selbst geschlagen zu werden. Bei echten Spiel könnte man nur den Gegner schlagen wenn sich das lohnt. Dabei kann man den verschonen der sowieso schlecht steht.
Um diese Regel zu prüfen habe ich den Spieler (FirstBeatNoBack) entwickelt. Er ist wie FirstBeat aber schlägt nicht nach hinten. Es hat sich herausgestellt, dass FirstBeat eindeutig besser ist. Also schlagen nach hinten lohnt sich. Allerdings durch häufiges schlagen zieht sich das Spiel in die Länge. Bei 4 Spieler braucht man 175 Züge (103 ohne die Regel). Der unterschied ist nur bei 2 Spieler nicht so groß. Also ist die Regel eigentlich nur für 2 Spieler wegen Zeitaufwand sinnvoll.
Das Spiel hat ziemlich kleine Strategiekomponente. Es gibt eine gute Strategie und die ist einfach zu spielen (Schlage immer sonst fahre mit dem Ersten). Ich konnte keine anderen Strategien finden, die einen nachweisbaren Vorteil hätten. Man müsste schon über 10000 Partien spielen um sichtbar (spricht signifikant) besser abzuscheiden. Es ist also kein Spiel für Strategen. Wahrscheinlich heben sich die erwartete positive Effekte auf. Es gibt keine Strategie, die das Verlieren garantiert. Die schlechteste Strategie gewinnt immer noch bei 4% der Spiele. Es ist schon eine wichtige Information, wenn man jemanden gewinnen lassen will (z.B ein Vorschulkind).
Am Ende weiß ich nun fast das gleiche, was ich vorher vermutet habe. Das Spiel guter Zufallsspiel, der dadurch lange nicht langweilig wird, weil man neigt, die eigene Taktik überzubewerten. Ein Guter Spiel um Spaß zu haben und ohne Kopfzerbrechen eine Gute Chance hat zu gewinnen.